验证受限等距性质的平均情况时间复杂度

在压缩感知中，$M \times N$ 感知矩阵（其中 $M < N$）上的受限等距性质（RIP）保证了稀疏向量的高效重建。如果一个矩阵在 $s$-稀疏向量上表现为一个 $\delta$-近似等距映射，则该矩阵具有 $(s,\delta)$-$\mathsf{RIP}$ 性质。众所周知，一个具有独立同分布 $\mathcal{N}(0,1/M)$ 条目的 $M\times N$ 矩阵，只要 $s\lesssim \delta^2 M/\log N$，就极有可能具有 $(s,\delta)$-$\mathsf{RIP}$ 性质。另一方面，大多数先前旨在确定性构造 $(s,\delta)$-$\mathsf{RIP}$ 矩阵的工作在 $s \gg \sqrt{M}$ 时都失败了。寻找 RIP 矩阵的另一种方法可能是抽取一个随机高斯矩阵并验证它确实是 RIP。然而，有证据表明，当 $s \gg \sqrt{M}$ 时，无论是在最坏情况还是平均情况下，这个验证任务在计算上都是困难的。在本文中，我们研究了在“可能但困难”的区域 $\sqrt{M} \ll s\lesssim M/\log N$ 内，验证具有独立同分布 $\mathcal{N}(0,1/M)$ 条目的 $M\times N$ 矩阵的 RIP 性质的精确平均情况时间复杂度。基于低次似然比的分析，我们给出了严格的证据，表明需要次指数运行时间 $N^{\tilde\Omega(s^2/M)}$，这证明了最大容忍稀疏度与所需计算能力之间的平滑权衡。这个下界本质上是紧的，与 Koiran 和 Zouzias 的现有算法的运行时间相匹配。我们的困难性结果允许 $\delta$ 取 $(0,1)$ 中的任何常数值，这涵盖了压缩感知的相关区域。这改进了 Wang、Berthet 和 Plan 的现有平均情况困难性结果，该结果仅限于 $\delta = o(1)$ 的情况。