具有快速乘法且行数更少的 RIP 矩阵新构造

在压缩感知中，“限制等距性质”(RIP) 是从 $m$ 次线性测量 $\Phi x$ 中高效重构 $\mathbb{C}^d$ 中近似 $k$-稀疏向量 $x$ 的充分条件。希望 $m$ 尽可能小，且 $\Phi$ 支持快速矩阵 - 向量乘法。在本工作中，我们给出了一种 $\mathbb{C}^{m \times d}$ 中 RIP 矩阵 $\Phi$ 的随机构造，它以 $1+\epsilon$ 的失真度保持所有 $k$-稀疏向量的 $L_2$ 范数，其中矩阵 - 向量乘法 $\Phi x$ 可在近乎线性时间内计算。行数 $m$ 的量级为 $\epsilon^{-2}k\log d\log^2(k\log d)$。此前对支持快速矩阵 - 向量乘法的 RIP 矩阵构造（如采样离散傅里叶矩阵）的分析要求 $m$ 大约大出一个 $\log k$ 因子。支持快速矩阵 - 向量乘法对于反复乘以 $\Phi$ 或 $\Phi^*$ 的迭代恢复算法非常有用。此外，我们的构造结合 [Krahmer-Ward, SIAM. J. Math. Anal. 2011] 中 RIP 矩阵与 Johnson-Lindenstrauss 引理之间的联系，意味着具有渐近更少行数的快速 Johnson-Lindenstrauss 嵌入。我们的方法是对先前构造的一个简单改进。我们不再选择嵌入矩阵的行为从某个更大的结构化矩阵（如离散傅里叶变换或随机循环矩阵）中采样的行，而是将嵌入矩阵的每一行选为原始矩阵少量行的线性组合，并以随机符号翻转作为系数。我们分析中的主要工具是 [Krahmer-Mendelson-Rauhut, arXiv:1207.0235] 中关于某些类型 Rademacher 混沌过程上确界的最新界。