具有Kronecker结构的Johnson-Lindenstrauss嵌入

我们证明了矩阵$\Phi D_\xi$的Johnson-Lindenstrauss性质，其中$\Phi$具有限制等距性质，$D_\xi$是一个对角矩阵，包含Kronecker积$\xi = \xi^{(1)} \otimes \dots \otimes \xi^{(d)}$的分量，该积由$d$个独立的Rademacher向量构成。此类嵌入在近期工作中被提出用于若干涉及张量结构数据压缩的应用，包括Ahle等人用于近似张量计算的 oblivious sketching 过程。为了同时保持$p$个点的范数，我们的结果要求$\Phi$对稀疏度$C(d) (\log p)^d$具有限制等距性质。在子采样Hadamard矩阵的情况下，这可将嵌入维度对$p$的依赖性改进为$(\log p)^d$，而此前已知的最佳结果要求$(\log p)^{d + 1}$。也就是说，对于Ahle等人 oblivious sketching 过程核心的$d=2$情形，缩放从三次改进为二次。我们提供了一个反例，以证明在温和假设下我们结果中建立的缩放是最优的。