Johnson-Lindenstrauss 引理的最优性

对于任意整数 $d, n \geq 2$ 及 $1/({\min\{n,d\}})^{0.4999} < \varepsilon<1$，我们证明了存在一个包含 $n$ 个向量的集合 $X\subset \mathbb{R}^d$，使得任何满足 $$\forall x,y\in X,\ (1-\varepsilon)\|x-y\|_2^2\le \|f(x)-f(y)\|_2^2 \le (1+\varepsilon)\|x-y\|_2^2$$ 的嵌入 $f:X\rightarrow \mathbb{R}^m$ 必然有 $$m = \Omega(\varepsilon^{-2} \lg n).$$ 该下界与 Johnson-Lindenstrauss 引理 [JL84] 给出的上界相匹配。此外，我们的下界几乎适用于所有感兴趣的 $\varepsilon$ 范围，因为总是存在到维度 $\min\{d, n\}$ 的等距嵌入（恒等映射，或到 $\mathop{span}(X)$ 的投影）。此前，这样的下界仅已知对线性映射 $f$ 成立，且不适用于如此大范围的参数 $\varepsilon, n, d$ [LN16]。此前已知针对一般 $f$ 的最佳下界为 $m = \Omega(\varepsilon^{-2}\lg n/\lg(1/\varepsilon))$ [Wel74, Lev83, Alo03]，这对于任何 $\varepsilon = o(1)$ 都不是最优的。