Johnson-Lindenstrauss 引理几乎刻画了 Hilbert 空间，但并非完全如此

设 $X$ 是一个满足 Johnson-Lindenstrauss 引理（简称 J-L 引理）的赋范空间，即对任意整数 $n$ 和任意 $x_1,\ldots,x_n\in X$，存在一个线性映射 $L:X\to F$，其中 $F\subseteq X$ 是维数为 $O(\log n)$ 的线性子空间，使得对所有 $i,j\in \{1,\ldots, n\}$ 有 $\|x_i-x_j\|\le\|L(x_i)-L(x_j)\|\le O(1)\cdot\|x_i-x_j\|$。我们证明，这意味着 $X$ 在以下意义下几乎是欧几里得的：$X$ 的每个 $n$ 维子空间以畸变 $2^{2^{O(\log^*n)}}$ 嵌入 Hilbert 空间。另一方面，我们证明存在一个赋范空间 $Y$ 满足 J-L 引理，但对每个 $n$，存在一个 $n$ 维子空间 $E_n\subseteq Y$，其欧几里得畸变至少为 $2^{\Omega(\alpha(n))}$，其中 $\alpha$ 是反 Ackermann 函数。