对 Milman 一个强化问题的反例

设 $|\cdot|$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的标准欧几里得范数，并设 $X=(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|)$ 为一个赋范空间。子空间 $Y\subset X$ 称为 \emph{强 $\alpha$-欧几里得}的，若存在常数 $t$ 使得对每个 $y\in Y$ 有 $t|y|\leq\|y\|\leq\alpha t|y|$；称其为 \emph{强 $\alpha$-补}的，若 $\|P_Y\|\leq\alpha$，其中 $P_Y$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的正交投影，$\|P_Y\|$ 表示 $P_Y$ 关于 $X$ 上范数的算子范数。我们给出一个维数可任意高的赋范空间 $X$ 的例子，它是强 2-欧几里得的，但不含任何同时是强 $(1+\epsilon)$-欧几里得和强 $(1+\epsilon)$-补的 2 维子空间，其中 $\epsilon>0$ 为绝对常数。该例子与 Vitali Milman 的一个老问题密切相关。