关于Casas-Alvero 共轭假设中坏质数的描述与上界

Casas--Alvero 共轭假设指出，每一个特征为零特征域上的一元多项式若与其每个导数 $H_i(f)$ 具有公共因子，则该多项式是线性多项式的幂。证明该共轭假设的一种方法是：首先证明该共轭假设在某个小度数 $n$ 上成立，然后列出该度数的坏质数列表（即在该度数 $n$ 和特征 $p$ 下该共轭假设失效的质数 $p$），随后推导所有形式为 $np^\ell$ 的度数的共轭假设，其中 $\ell\in \mathbb{N}$，且 $p$ 为 $n$ 的好质数。在本文中，我们对任意给定度数 $n$ 的坏质数集合给出明确描述。特别地，我们证明若该共轭假设在度数 $n$ 上成立，则该度数的坏质数上界为 $\binom{\frac{n^2-n}2}{n-2}!\prod\limits_{i=1}^{n-1}\binom{i+n-2}{n-2}^{\binom{d-i+n-2}{n-2}}$。