具有最大相对投影常数的有限维赋范空间超平面

赋范空间 $Y \subset X$ 的\emph{相对投影常数} $\lambda(Y, X)$ 定义为 $\lambda(Y, X) = \inf \{ ||P|| : P \in \mathcal{P}(X, Y) \}$，其中 $\mathcal{P}(X, Y)$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的所有连续投影的集合。根据 Bohnenblust 的著名结果，对于任意 $n$ 维赋范空间 $X$ 及其余维数为 1 的子空间 $Y$，不等式 $\lambda(Y, X) \leq 2 - \frac{2}{n}$ 成立。本文的主要目标是研究 Bohnenblust 定理中的等号成立情形。我们建立了等式 $\lambda(Y, X) = 2 - \frac{2}{n}$ 成立的等价条件，并给出了若干应用。我们证明了每个三维空间都存在一个投影常数小于 $\frac{4}{3} - 0.0007$ 的子空间。这为 Bosznay 和 Garay 提出的问题提供了一个非平凡的上界。在一般情形下，我们根据 $X$ 的单位球的 facets 给出了具有最大相对投影常数的 $(n-1)$ 维子空间数量的上界。由此推论，每个 $n$ 维赋范空间 $X$ 都有一个 $(n-1)$ 维子空间 $Y$ 满足 $\lambda(Y, X) < 2-\frac{2}{n}$。这与可分情形形成对比，因为在可分情形中，每个超平面都可能具有最大可能的投影常数。