球面多胞形超平面投影范数的一致下界

设 $K$ 为一个中心对称的球面单纯多胞形，其顶点构成 $\mathbb{R}^n$ 中单位球面上的一个 $\frac{1}{4n}-$网。我们证明了所有超平面投影 $P: X \to X$ 的范数的一致下界，其中 $X$ 是以 $K$ 为单位球的 $n$ 维赋范空间。该估计由 $K$ 的顶点与面的行列式函数给出。特别地，若 $N \geq n^{4n}$ 且 $K = \conv \{ \pm x_1, \pm x_2, \ldots, \pm x_N \}$，其中 $x_1, x_2, \ldots, x_N$ 为单位球面上均匀分布的独立随机点，则每个超平面投影 $P: X \to X$ 满足不等式 $\|P\|_X \geq 1+c_nN^{-(2n^2+4n+6)}$（对某个显式常数 $c_n$），其概率至少为 $1 - \frac{3}{N}$。