关于 5-洞数目的超线性下界

设 $P$ 为平面上处于一般位置的有限点集，即 $P$ 中没有三个点共线。我们称 $P$ 中的一个五点集合 $H$ 为 $P$ 中的一个 $5$-洞，如果 $H$ 是一个不包含 $P$ 中其他点的凸 $5$-边形的顶点集。对于正整数 $n$，设 $h_5(n)$ 为平面上处于一般位置的所有 $n$ 点集中 $5$-洞的最小数目。尽管在过去 30 年中付出了许多努力，但关于 $h_5(n)$ 已知的最佳渐近下界和上界一直分别为 $\Omega(n)$ 和 $O(n^2)$。我们证明了 $h_5(n) = \Omega(n\log^{4/5}{n})$，获得了关于 $h_5(n)$ 的首个超线性下界。以下结构结果可能是该下界证明的关键步骤，且可能具有独立意义：如果平面上处于一般位置的有限点集 $P$ 被一条直线 $\ell$ 划分为两个子集，每个子集的大小至少为 5 且不处于凸位置，则 $\ell$ 与 $P$ 中某个 $5$-洞的凸包相交。该结果的证明是计算机辅助的。