不使用计算的五边形最小化

Erd\H{o}s 和 Guy 启动了一系列研究，探讨 $\mu_k(n)$ 的问题，即将 n 个点置于平面上而不允许其中三个共线时，所能得到的凸 k 边形数量的最小值。对于所有 k，当 n 趋于无穷大时，$\mu_k(n)/\binom{n}{k}$ 的极限 $c_k$ 存在且严格为正，这是由 Erd\H{o}s-Szekeres 定理保证的。本文聚焦于 $k=5$ 的情况，已知 $c_5$ 介于 $0.0608516$ 和 $0.0625$ 之间(Goaoc 等人，2018；Subercaseaux 等人，2023)。下界通过 Razborov 的标志代数方法结合半正规划获得。本文证明了一个更保守的下界 $\frac{5\sqrt{5}-11}{4} \approx 0.04508$，且不涉及任何计算；我们利用“平面点方程”以不同方式计数平面内凸五边形(或其他几何对象)的数量。为导出下界，我们从统计角度将这些方程组合起来，我们认为这对其他相关问题可能具有积极意义。