Erdős-Szekeres 问题的两个推广

根据 Suk 在 Erdős-Szekeres 问题上的突破性结果，平面上处于一般位置的任意点集，若其不含构成凸 $n$ 边形顶点集的 $n$ 个元素，则至多有 $2^{n+O\left({n^{2/3}\log n}\right)}$ 个点。我们从两方面加强了该定理。首先，我们证明此结果可推广到由伪线排列诱导的凸性结构。其次，我们改进了误差项。平面上 $n$ 个凸体族被称为处于凸位置，若其中任意 $n-1$ 个成员之并的凸包不包含剩余的那一个。若任意三个成员处于凸位置，则称该族处于一般位置。将我们的结果与 Dobbins、Holmsen 和 Hubard 的定理相结合，我们显著改进了以下两个函数的最佳已知上界，它们分别由 Bisztriczky 和 Fejes Tóth 以及 Pach 和 Tóth 引入。令 $c(n)$（以及 $c'(n)$）表示具有如下性质的最小正整数 $N$：任意 $N$ 个处于一般位置的两两不交凸体族（相应地，$N$ 个处于一般位置的凸体族，其中任意两者至多共享两个边界点）均含有一个处于凸位置的 $n$ 元子族。我们证明 $c(n)\le c'(n)\leq 2^{n+O\left(\sqrt{n\log n}\right)}$。