实射影平面中的Erdős–Szekeres型问题

我们考虑实射影平面$\mathbb{R}P^2$中的点集，并在此背景下探索经典平面点集极值问题的变体，主要关注Erdős–Szekeres型问题。我们对Harborth和Möller于1994年提出的$\mathbb{R}P^2$中凸位置点集的Erdős–Szekeres定理变体给出了渐近紧的界。$\mathbb{R}P^2$中凸位置的概念与Steinitz于1913年引入的凸集定义一致。对于$k \geq 3$，有限集$S \subseteq \mathbb{R}^2$中的（仿射）$k$-洞是指$S$中处于凸位置的$k$个点，且其凸包内部不含$S$的点。在引入$\mathbb{R}P^2$点集的称为射影$k$-洞的$k$-洞新概念后，我们找到了任意大的$\mathbb{R}P^2$有限点集不含射影8-洞，提供了Horton于1983年经典平面构造的类似物。我们还证明对于$k \leq 7$，它们只含二次数量的射影$k$-洞。另一方面，我们通过构造对每个$k \in \{3,\dots,6\}$来自$\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}P^2$的$n$点集具有$\Omega(n^{3-3/5k})$射影$k$-洞而仅含$O(n^2)$仿射$k$-洞，表明$\mathbb{R}P^2$中$k$-洞的数量可大幅多于$\mathbb{R}^2$。最后但并非最不重要的，我们证明了若干其他结果，例如关于$\mathbb{R}P^2$中随机点集的射影洞以及一些算法方面。对$\mathbb{R}P^2$中点集极值问题的研究开辟了新的研究领域，我们通过提出若干开放问题予以支持。