随机点集中期望空洞数的紧确界

对于整数$d \geq 2$和$k \geq d+1$，在$\mathbb{R}^d$中处于一般位置的集合$S$中的一个$k$-空洞，是指$S$中处于凸位置的$k$个点构成的元组，使得其凸包内部不包含$S$中的任何点。对于一个$d$维体积为单位的凸体$K \subseteq \mathbb{R}^d$，我们研究从$K$中均匀且独立随机抽取的$n$个点构成的集合中$k$-空洞的期望数量$EH^K_{d,k}(n)$。我们证明了$EH^K_{d,k}(n)$的一个渐近紧确下界，通过证明对于所有固定的整数$d \geq 2$和$k\geq d+1$，数量$EH_{d,k}^K(n)$至少为$\Omega(n^d)$。对于一些小的空洞，我们甚至精确确定了主导常数$\lim_{n \to \infty}n^{-d}EH^K_{d,k}(n)$。我们改进了Reitzner和Temesvari (2019)关于$\lim_{n \to \infty}n^{-d}EH^K_{d,d+1}(n)$的当前最佳已知下界。在平面上，我们证明对于每个固定的$k \geq 3$，常数$\lim_{n \to \infty}n^{-2}EH^K_{2,k}(n)$与$K$无关，并且我们为$k=4$精确计算了该常数，改进了Fabila-Monroy、Huemer和Mitsche (2015)以及作者们(2020)的早期估计。