如何 privately 找到凸包中的一点

我们研究如何以差分隐私的方式计算输入点集 $S$（包含 ${\mathbb R}^d$ 中 $n$ 个点）的凸包中的一点。该问题在非隐私情形下是平凡的，但在施加差分隐私后却相当深刻。特别地，已知输入点必须位于固定有限子集 $G\subseteq{\mathbb R}^d$ 上，且 $S$ 的大小必须随 $G$ 的大小增长。先前工作聚焦于理解 $n$ 需如何随 $|G|$ 增长，并表明 $n=O\left(d^{2.5}\cdot8^{\log^*|G|}\right)$ 已足够（故 $n$ 不必随 $|G|$ 显著增长）。然而，现有构造的运行时间至少为 $|G|^{d^2}$，其中通常 $|G|=X^d$（$X$ 为某（大）离散化参数），故运行时间实为 $\Omega(X^{d^3})$。本文中，我们假设 $n=\Omega(d^4\log X)$，给出一种运行时间为 $O(n^d)$ 的差分隐私算法。为得此结果，我们研究并利用了Tukey层次（区域 $D_{\ge k}$，由Tukey深度至少为 $k$ 的点组成，对 $k=0,1,...$）的一些结构性质。特别地，我们推导了一般位置点集 $S$ 下这些区域体积的下界，并发展了处理退化位置点集 $S$（其深层Tukey区域体积为零）的精细机制。朴素构造Tukey区域的方法需 $n^{O(d^2)}$ 时间。为将代价降至 $O(n^d)$，我们使用一种用于估计Tukey区域体积（退化时在其仿射张成内）及从中采样一点的近似方案，该方案基于Lov\'asz与Vempala (FOCS 2003)及Cousins与Vempala (STOC 2015)的体积估计框架。使该框架满足差分隐私带来了一系列我们予以解决的技术挑战。