凸包的高效范围报告

我们考虑二维正交范围查询中报告凸包点的问题。形式化地，设 $P$ 为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的 $n$ 个点集。若一个点位于由点集 $S$ 形成的最小凸多边形的边界上，则该点位于 $S$ 的凸包上。在本文中，我们致力于寻找那些既位于 $P$ 中点的凸包边界上，又落在正交范围 $[x_{lt},x_{rt}]\times{}[y_b, y_t]$ 内的点。我们提出了一种空间复杂度为 $O(n \log^{2} n)$ 的数据结构，能够支持在正交范围查询内报告凸包上的点，时间复杂度为 $O(\log^{3} n + h)$，其中 $h$ 为输出大小。这项工作改进了 (Brass et al. 2013) \cite{brass} 的结果，后者构建的数据结构使用 $O(n \log^{2} n)$ 空间，但查询时间为 $O(\log^{5} n + h)$。此外，我们表明我们的数据结构只需稍作修改即可解决其他相关问题。例如，针对统计正交查询矩形内凸包上的点数，我们提出了一种空间复杂度为 $O(n \log^{2}n)$ 的数据结构，其查询时间为 $O(\log^{3} n)$。我们还提出了一种空间复杂度为 $O(n \log^{2} n)$ 的数据结构，能够在 $O(\log^{3} n)$ 时间内计算正交范围查询内凸包的 $area$ 和 $perimeter$。