针对点集凸包的多边形查询

我们研究如下范围搜索问题：在平面上针对一组方向 $\mathcal{O}$ 预处理 $n$ 个点的点集 $P$，使得给定 $\mathcal{O}$-定向凸多边形 $Q$ 时，可高效计算 $P\cap Q$ 的凸包，其中 $\mathcal{O}$-定向多边形是指其边方向均属于 $\mathcal{O}$ 的多边形。我们提出一种数据结构，其空间为 $O(nk^3\log^2n)$、构建时间为 $O(nk^3\log^2n)$，并对任意查询 $\mathcal{O}$-定向凸 $s$-边形 $Q$ 提供 $O(h+s\log^2 n)$ 时间的查询算法，其中 $h$ 为凸包的复杂度。此外，利用该数据结构，我们可在 $O(s\log^2n)$ 时间内计算 $P\cap Q$ 凸包的周长或面积。