旋转下最小面积直线凸包的高效计算及其推广

设 $P$ 为平面上 $n$ 个点的集合。我们在最优 $O(n\log n)$ 时间和 $O(n)$ 空间内计算出 $\theta\in [0,2\pi)$ 的值，使得 $P$ 的直线凸包（记为 $\mathcal{RH}_\theta(P)$）具有最小（或最大）面积，改进了此前的 $O(n^2)$ 界。设 $\mathcal{O}$ 为过原点且按斜率排序的 $k$ 条直线组成的集合，$\alpha_i$ 为两两相邻直线所定义的 $2k$ 个角的大小，$i=1, \ldots , 2k$。令 $\Theta_{i}=\pi-\alpha_i$ 且 $\Theta=\min\{\Theta_i \colon i=1,\ldots,2k\}$。我们得到：(1) 给定满足 $\Theta\ge\frac{\pi}{2}$ 的集合 $\mathcal{O}$，我们提供在最优 $O(n\log n)$ 时间和 $O(n)$ 空间内计算 $P$ 的 $\mathcal{O}$-凸包的算法；若 $\Theta < \frac{\pi}{2}$，则时间和空间复杂度分别为 $O(\frac{n}{\Theta}\log n)$ 和 $O(\frac{n}{\Theta})$。(2) 给定满足 $\Theta\ge\frac{\pi}{2}$ 的集合 $\mathcal{O}$，我们在 $O(kn\log n)$ 时间和 $O(kn)$ 空间内计算并维护 $P$ 的 ${\mathcal{O}}_{\theta}$-凸包在 $\theta\in [0,2\pi)$ 下的边界，或者若 $\Theta < \frac{\pi}{2}$，则在 $O(k\frac{n}{\Theta}\log n)$ 时间和 $O(k\frac{n}{\Theta})$ 空间内完成。(3) 最后，给定满足 $\Theta\ge\frac{\pi}{2}$ 的集合 $\mathcal{O}$，我们在 $O(kn\log n)$ 时间和 $O(kn)$ 空间内计算 $\theta\in [0,2\pi)$ 中的角度，使得 $P$ 的 $\mathcal{O}_{\theta}$-凸包在所有 $\theta\in [0,2\pi)$ 上具有最小（或最大）面积。