随机点集凸包的面积与周长

给定平面上的 $n$ 个点集 $P$，我们研究计算 $P$ 的随机子集 $S$ 的凸包的面积和周长的概率分布函数。随机子集 $S$ 是通过以给定的有理概率 $\pi_p$ 独立地抽取 $P$ 中的每个点 $p$ 而形成的。对于凸包的这两个度量，我们证明了计算该度量至少为给定界限 $w$ 的概率是 \#P-难的。对于 $\varepsilon\in(0,1)$，我们提供了一种运行时间为 $O(n^{6}/\varepsilon)$ 的算法，其返回的值介于面积至少为 $w$ 的概率与面积至少为 $(1-\varepsilon)w$ 的概率之间。对于周长，我们展示了一种运行时间为 $O(n^{6}/\varepsilon)$ 的类似算法。最后，给定 $\varepsilon,\delta\in(0,1)$ 且对于任意度量，我们展示了一种运行时间为 $O(n\log n+ (n/\varepsilon^2)\log(1/\delta))$ 的蒙特卡洛算法，该算法以至少 $1-\delta$ 的成功概率返回一个值，其与度量至少为 $w$ 的概率之差不超过 $\varepsilon$。