随机凸包与极值统计

在本文中，我们研究了根据给定分布选择的平面上$N$个随机点的凸包的统计性质。这些点可以独立选择，也可以是相关的。在对随机凸包问题中有些零散的文献和多种方法进行非穷尽式综述之后，我们提出了一种统一的方法，基于闭曲线的支撑函数和相关的柯西公式，该方法使我们能够精确计算在独立点和相关点情况下凸多边形所包围的平均周长和平均面积。我们的方法展示了随机凸包问题与极值统计学科之间的一种优美联系。作为相关点的例子，我们在此详细研究了点代表$n$条独立随机游走顶点的情况。在连续时间极限下，这简化为$n$条独立的平面布朗轨迹，对于所有$n$，我们精确计算了它们全局凸包的平均周长和平均面积。我们的结果在生态学中估计动物群的活动范围方面具有相关应用。其中一些结果最近在短篇通讯[Phys. Rev. Lett. {\bf 103}, 140602 (2009)]中已发表。