凸体中点半空间深度的Hilbert几何近似算法

半空间（或Tukey）深度是多元数据集中数据点中心性的基本且稳健的度量。计算点关于$\mathbb{R}^d$中开凸体上均匀分布的深度是一个自然的算法问题。虽然凸体成员测试这一较粗的任务已被广泛研究，但深度求值这一精细化问题在文献中受到的关注相对较少。在本工作中，我们提出了一种近似开凸体$K\subset\mathbb{R}^d$中点半空间深度的算法。据我们所知，这是该问题的首个确定性算法。作为方法的一部分，我们设计了一种用于回答$K$的深度截断区域（即深度函数的上水平集）的近似成员查询的算法。我们的数据结构受到Abdelkader和Mount在[SOSA 2024]中近期工作的启发，其中使用从$K$上的Hilbert度量导出的几何结构来回答$K$的近似成员查询。我们数据结构的一个关键组成部分是对深度截断区域与$K$的Hilbert度量球之间的新颖定量比较。最后，为了突出该问题的计算代价，我们提出了一种算法，用于确定以有限个半平面交集形式给出的开平面凸多边形中点的精确深度。