高维中的任何标准正交基在球面上都是均匀分布的
概率论
2019-08-01 v2 数学物理
math.MP
摘要
设X是有限但大维数d的实或复希尔伯特空间，S(X)表示X的单位球面，u表示S(X)上的归一化均匀测度。对于S(X)的有限子集B，我们可以通过选择S(X)的一个划分A_1,...,A_m，并检查B中落在A_k中的点的比例是否对每个k=1,...,m接近u(A_k)，来测试它是否在球面上近似均匀分布。我们证明，如果B是X的任意标准正交基，且m不太大，那么如果我们通过将随机旋转应用于集合A_1,...,A_m来随机化测试，B将以接近1的概率通过随机测试。这个陈述与大数定律相关，但并非由其导出。简要描述了这一事实在量子统计力学中的一个应用。
引用
@article{arxiv.1406.2576,
title = {Any Orthonormal Basis in High Dimension is Uniformly Distributed over the Sphere},
author = {Sheldon Goldstein and Joel L. Lebowitz and Roderich Tumulka and Nino Zanghi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1406.2576},
year = {2019}
}
备注
22 pages LaTeX, no figures; v2 minor improvements