高维空间的随机正交基

我们考虑一列希尔伯特空间 $H_N$，其维数 $d_N$ 趋于无穷。 motivating 例子是 Laplace 或 Schrodinger 算子的本征空间或准模空间。我们通过固定一个正交基 (ONB) 并用 $U(d_N)$ 中的一个随机元素对其进行变换，来定义 $H_N$ 的随机 ONB。$H_N$ 直和的随机 ONB 是 $H_N$ 的随机 ONB 的独立序列 $\{U_N\}$。我们证明，如果 $d_N$ 趋于无穷，且 $H_N$ 中可观测量归一化迹趋于唯一的极限态，则随机 ONB 也趋于该极限态。这推广了作者此前关于标准 2-球本征空间的结果，并表明该结果不依赖于维数增长的快慢。特别地，它适用于维数大于 4 的平坦有理环面的本征空间。主要思想是将量子各态历经性转化为 permutahedra 惯性矩的问题，并利用 Schur 多项式计算这些矩。