多维符号动力系统空间熵的论证

多维移位空间 $\mathcal{U}$ 常用的空间熵 $h_{r}(\mathcal{U})$ 定义为可扩展至整个空间 $\mathbb{Z}^{d}$ ($d\geq 2$) 的有限矩形子格上允许局部模式增长率之极限。本研究探讨了移位空间 $\mathcal{U}$ 在一般扩张系统 $\Omega=\{\Omega(n)\}_{n=1}^{\infty}$ 上的空间熵 $h_{\Omega}(\mathcal{U})$，其中 $\Omega(n)$ 为递增的有限子格并扩张至 $\mathbb{Z}^{d}$。若 $\Omega(n)$ 不包含尺寸与其 $d$ 维部分相当的低维部分，则称 $\Omega$ 为真正 $d$ 维的。我们证明，对于所有真正二维的 $\Omega$，$h_{r}(\mathcal{U})$ 是 $h_{\Omega}(\mathcal{U})$ 的上确界。此外，当 $\Omega$ 为真正 $d$ 维且满足某些条件时，有 $h_{\Omega}(\mathcal{U})=h_{r}(\mathcal{U})$。相反，当 $\Omega(n)$ 包含低维部分时，对于某些 $\mathcal{U}$ 有 $h_{r}(\mathcal{U})<h_{\Omega}(\mathcal{U})$。因此，$h_{r}(\mathcal{U})$ 适合作为 $d$ 维空间熵。