极小假设下极端 $d$ 维空间分位数的性态

“空间”或“几何”分位数是唯一能同时处理高维数据与函数型数据（亦适用于多输出分位数回归框架）的多元分位数。本文研究有限维情形下的空间分位数，其中取值于 $\mathbb{R}^d$ 的分布 $P$ 的空间分位数 $\mu_{\alpha,u}(P)$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的一点，由阶 $\alpha\in[0,1)$ 与 $\mathbb{R}^d$ 的单位球面 $\mathcal{S}^{d-1}$ 中的方向 $u$ 索引——或等价地由 $\mathbb{R}^d$ 的开单位球中的向量 $\alpha u$ 索引。最近，Girard 与 Stupfler（2017）证明了：(i) 当 $\alpha\to 1$ 时得到的极端分位数 $\mu_{\alpha,u}(P)$ 会跑出 $\mathbb{R}^d$ 的所有紧集；(ii) 它们跑出的方向收敛于 $u$。这些结果有助于理解这些分位数的本质：第一个结果尤为惊人，因为它即便在 $P$ 具有有界支撑时也成立，而第二个结果阐明了空间分位数对 $u$ 的微妙依赖。然而，这些结果是在要求 $P$ 非原子的假设下建立的，因此尚不清楚它们对经验概率测度是否成立。我们改进了这一点，在远为温和的条件下证明了这些结果，从而允许样本情形。这避免了使用梯度条件论证，使证明极具挑战性。我们也削弱了对有限维空间分位数唯一性已知的充分条件。