关于有限体积随机块 Schrödinger 算子的局域化长度

我们研究 1 维和 2 维中一类一般的随机块 Schrödinger 算子（RBSOs），该算子通过将随机势替换为随机块势自然地推广了 Anderson 模型。具体而言，我们关注定义在 $d$ 维环面 $(\mathbb Z/L\mathbb Z)^d$ 上的两个 RBSO——块 Anderson 模型和 Wegner 轨道模型。它们具有形式 $H=V + \lambda \Psi$，其中 $V$ 是具有独立同分布的 $W^d\times W^d$ 高斯对角块的块势，$\Psi$ 描述相邻块之间的相互作用，$\lambda>0$ 是耦合参数。我们对 $\Psi$ 的块进行归一化，使得每个块的 Hilbert-Schmidt 范数与 $V$ 的块具有相同的阶。假设对于一个小常数 $\delta>0$ 有 $W\ge L^\delta$ 且 $\lambda\gg W^{-d/2}$，我们确立了以下结果。在 $d=2$ 维中，我们证明了体态特征向量的解局域化与量子唯一遍历性。结合 arXiv:1608.02922 中在 $\lambda\ll W^{-d/2}$ 条件下成立的局域化结果，这为 $\lambda$ 跨越临界阈值 $W^{-d/2}$ 时的 Anderson 局域化-解局域化转变提供了严格证明。在 $d=1$ 维中，我们证明了体态特征向量的局域化长度至少为 $(W\lambda)^2$ 阶，这被认为是正确的标度。