一般类随机块Schr"{o}dinger算子脱局化分析

我们考虑一类自然的Anderson模型推广，即随机块Schr"{o}dinger算子(RBSOs)，定义在d维环面上，即$(\mathbb Z/L\mathbb Z)^d$上。这些算子形式为$H=V+\lambda\Psi$，其中$V$是对角块矩阵，其对角块为i.i.d.的$W^d\times W^d$GUE，代表随机块势能，$\Psi$描述相邻块之间的相互作用，$\lambda\ll 1$为较小的耦合参数(使$H$成为$V$的扰动)。我们关注三种特定的RBSOs：(1)块Anderson模型，其中$\Psi$为$(\mathbb Z/L\mathbb Z)^d$上的离散拉普拉斯算子；(2)Anderson轨道模型，其中$\Psi$为块拉普拉斯算子；(3)Wegner轨道模型，其中$\Psi$的最近邻块本身为随机矩阵。假设$d\ge 7$且$W\ge L^\varepsilon$其中$\varepsilon>0$为小常数，并且在$\lambda$上施加某个下界，我们在块本征向量上建立脱局化和量子唯一ergodicity，同时对Green函数给出量子扩散估计。结合arXiv:1608.02922中的局域化结果，我们的结果严格地表明当$\lambda$变化时，RBSOs存在Anderson局域化-脱局化转移。我们的证明基于$T$-展开方法和自能重整理概念，最初用于研究随机频谱矩阵，见arXiv:2104.12048。此外，我们引入一种概念性新颖想法，称为耦合重整理，将自能重整理的概念推广。虽然这一现象在量子场论中众所周知，但首次在随机Schr"{o}dinger算子语境中被识别。我们期望这些方法可以推广到具有实或非高斯块势能的模型，以及更一般的相互作用形式。