通过 Lyapunov 指数的正性与大偏差证明一维 Anderson 模型的局域化

我们从 Fürstenberg 定理给出的 Lyapunov 指数的正性出发，为一维 Anderson 模型的谱局域化与动力学局域化提供了完整且自洽的证明。即，一个 $\ell^2(\mathbb{Z})$ 上的 Schrödinger 算子，其势由独立同分布（i.i.d.）随机变量给出，几乎必然具有纯点谱且其本征函数指数衰减，同时其酉群表现出在时间上一致的对角外指数衰减。这是通过一个新结果实现的：对于 Anderson 模型，通常所有广义本征函数都具有 Lyapunov 行为。我们还说明了如何对 Verblunsky 系数为 i.i.d. 的扩展 CMV 矩阵以及这些模型的半直线类比模型获得类似的结论。