维数 $d\ge 3$ 下非均匀随机矩阵的脱致

我们研究具有均值零复高斯项的 $N \times N$ 随机带矩阵 $H = (H_{xy})$，其中 $x,y$ 位于离散 torus 上 $(\mathbb{Z} / \sqrt[d]{N} \mathbb{Z})^d$，维数 $d \ge 3$。方差轮廓满足 $\mathbb{E}|H_{xy}|^2 = S_{xy}$，当 $x$ 与 $y$ 之间的距离超过带宽参数 $W$ 时，$S_{xy} = 0$。我们证明如果 $W \geq N^{\mathfrak{c}}$ 对于某个常数 $\mathfrak{c} > 0$，则在大 $N$ 极限下，bulk 特征向量是脱致的，量子唯一ergodicity（QUE）成立，局部 bulk 本征值统计具有普适性。我们的证明基于循环层级（arXiv:2501.01718）的树形近似以及前期工作中发展的数值图解法（arXiv:1807.02447, arXiv:2104.12048, arXiv:2107.05795, arXiv:2412.15207, arXiv:2503.07606）。除了随机带矩阵外，我们还研究两种经典非均匀随机矩阵模型：Wegner 轨道和块 Anderson 模型。具体来说，我们考虑离散 torus 上的厄米矩阵 $H = V + g \Psi$，其中 $V$ 由大小为 $W^d \times W^d$ 的独立复高斯对角块组成的随机块势，$\Psi$ 编码相邻块之间的相互作用——在 Wegner 轨道模型中随机，在块 Anderson 模型中确定。参数 $g > 0$ 表示块之间的耦合强度。在再次假设 $W \geq N^{\mathfrak{c}}$ 的情况下，我们在任意小常数 $\varepsilon > 0$ 下，对于满足 $W^{-d/2+\varepsilon}\le g \le \varepsilon^{-1}$ 的条件下，建立了 bulk 特征向量的脱致、QUE 和 bulk 普适性。结合 arXiv:1608.02922 中 $g \ll W^{-d/2}$ 情况下的局域化结果，这在维数 $d \ge 3$ 中识别了局域化-脱致转变尺度 $g = W^{-d/2}$。