离域相中的随机带状矩阵，III：涨落平均

我们考虑任意维度 $d\ge 1$ 下的一类一般对称或Hermitian随机带状矩阵 $H=(h_{xy})_{x,y \in \llbracket 1,N\rrbracket^d}$，其中条目为独立的零均值随机变量，方差为 $s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$。我们假定若 $|x-y|$ 超过带宽 $W$ 则 $s_{xy}$ 为零，并且我们关注 $1\ll W\ll N$ 的中观尺度。将 $H$ 的{\it{广义预解式}}定义为 $G(H,Z):=(H - Z)^{-1}$，其中 $Z$ 为确定性对角矩阵，对所有 $x$ 其条目 $Z_{xx}\in \mathbb C_+$。随后我们建立了关于预解式条目多项式的某些平均的高概率精确界。作为该涨落平均结果的应用，我们给出了维度 $d\ge 2$ 下随机带状矩阵离域性的自包含证明。更确切地说，对任意固定的 $d\ge 2$，我们证明若 $N\le W^{1+\frac{d}{2}}$，则 $H$ 的体本征向量在某种平均意义下是离域的。这改进了文献\cite{HeMa2018}在假设 $N\ll W^{1+\frac{d}{d+1}}$ 下以及文献\cite{ErdKno2013,ErdKno2011}在假设 $N\ll W^{1+\frac{d}{6}}$ 下的相应结果。对于一维随机带状矩阵，我们的涨落平均结果已在\cite{PartII,PartI}中被用于证明 $N\ll W^{4/3}$ 下随机带状矩阵的离域猜想与体普适性。