高维随机带状矩阵的体积普适性与量子唯一遍历性

我们考虑 $d$ 维格点 $(\mathbb Z/L \mathbb Z)^d$ 上的Hermitian随机带状矩阵 $H=(h_{xy})$，其中元素 $h_{xy}=\overline h_{yx}$ 是独立的零均值复高斯随机变量，方差为 $s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$。方差矩阵 $S=(s_{xy})$ 具有带状轮廓，使得当 $|x-y|$ 超过带宽 $W$ 时 $s_{xy}$ 可忽略。对于维度 $d\ge 7$，我们在条件 $W \gg L^{95/(d+95)}$ 下证明 $H$ 的体积特征值普适性。假设对某一小常数 $\epsilon >0$ 有 $W\geq L^\epsilon$，我们还证明了 $H$ 的体积特征向量的量子唯一遍历性，以及Green函数 $G(z)=(H-z)^{-1}$ 的锐局部律，直至 ${\mathrm{Im}} \, z \gg W^{-5}L^{5-d}$。该局部律意味着 $H$ 的体积特征向量元素以高概率为 ${\mathrm{O}}(W^{-5/2}L^{-d/2+5/2})$ 量级。