随机频带矩阵在边缘处的去局化

我们考虑 $N\times N$ 赫姆齐特随机频带矩阵 $H=(H_{xy})$，其条目是中心复高斯随机变量。指数 $x,y$ 范围在离散环 $(\mathbb Z/L\mathbb Z)^d$ 上，其中 $d\in \{1,2\}$ 且 $N=L^d$。方差概览 $S_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$ 具有频带结构：具体而言，当距离 $|x-y|$ 超过带宽参数 $W\le L$ 时，$S_{xy}=0$。设 $W=L^\alpha$，其中 $0<\alpha\le 1$。我们证明随着 $\alpha$ 从 $\mathbf 1_{d=1}/2$ 增加到 $1-d/6$，对应去局化特征向量能量范围从谱的中间部逐渐扩展到整个谱。更精确地，我们证明能量 $E$ 满足 $2 - |E| \gg N^{-c_{d,\alpha}}$ 时，其关联特征向量是去局化的，其中指数 $c_{d,\alpha}$ 取决于维度：在一维中为 $c_{d,\alpha} = 2\alpha - 1$，在二维中为 $c_{d,\alpha} = \alpha$。此外，当 $\alpha > 1-d/6$ 时，矩阵 $H$ 的所有特征向量均为去局化。我们进一步建立了去局化特征向量的量子唯一黄致性，以及特征值的刚性估计。我们的发现扩展了之前在一维 (arXiv:2501.01718) 和二维 (arXiv:2503.07606) 随机频带矩阵的 bulk 区间结果，适用于整个谱，包括谱边。它们也补充了 arXiv:0906.4047 和 arXiv:2401.00492 的结果，后者涉及一维和二维随机频带矩阵的边缘特征值统计。