关于超立方体对称保持子集的高重数超平面与多项式覆盖
组合数学
2023-08-01 v1
摘要
Alon 与 Füredi (European J. Combin. 1993) 给出了如下超平面覆盖问题的紧界：求覆盖 n 维超立方体 {0,1}^n 中除原点外所有点所需的最少超平面数。他们的证明是多项式方法早期实例之一，该方法考虑与超平面排列相关的自然多项式（线性因子的乘积），并给出其次数的下界，同时忽略该多项式的（乘积）结构。因此，他们的证明给出了一个较弱多项式覆盖问题的下界，而该下界对较强的超平面覆盖问题而言恰好是紧的。类似地，在第四作者 (Electron. J. Combin. 2022) 以及前三位作者 (Discrete Math. 2023) 的著作中，在一些特殊情形下，通过相应较弱多项式覆盖问题的解获得了其他一些超平面覆盖问题的解。本文在此基础上，考虑了超立方体一般对称集上的超平面覆盖问题，其中我们考察具有更高重数的超平面覆盖。我们发现在即便如此一般的情况下，只需解决相应的多项式覆盖问题即可。进一步，就覆盖超立方体对称保持子集而言，这似乎是该方法的极限。我们通过考察超立方体的分块对称集类（其为严格大于对称集的类）来收集证据，并指出同样的证明技术似乎只能解决多项式覆盖问题。
引用
@article{arxiv.2307.16881,
title = {On higher multiplicity hyperplane and polynomial covers for symmetry preserving subsets of the hypercube},
author = {Arijit Ghosh and Chandrima Kayal and Soumi Nandi and S. Venkitesh},
journal= {arXiv preprint arXiv:2307.16881},
year = {2023}
}