以重数几乎覆盖超立方体的所有层

给定 $\mathbb{R}^{n}$ 中的超立方体 $\mathcal{Q}^{n} := \{0,1\}^{n}$，以及 $k \in \{0, \dots, n\}$，超立方体 $\mathcal{Q}^{n}$ 的第 $k$ 层 $\mathcal{Q}^{n}_{k}$ 表示 $\mathcal{Q}^{n}$ 中所有坐标恰含 $k$ 个 1 的点的集合。对固定的 $t \in \mathbb{N}$ 与 $k \in \{0, \dots, n\}$，设 $P \in \mathbb{R}\left[x_{1}, \dots, x_{n}\right]$ 为在 $\mathcal{Q}^{n} \setminus \mathcal{Q}^{n}_{k}$ 的所有点上具有至少 $t$ 重零点的多项式，且在 $\mathcal{Q}^{n}_{k}$ 的所有点上恰有 $t-1$ 重零点。在本短文中，我们证明 $$deg(P) \geq \max\left\{ k, n-k\right\}+2t-2.$$匹配上述下界，我们显式构造了 $\mathbb{R}^{n}$ 中一族超平面 $H_{1}, \dots, H_{m}$，其中 $m = \max\left\{ k, n-k\right\}+2t-2$，使得 $\mathcal{Q}^{n}_{k}$ 的每个点恰被覆盖 $t-1$ 次，而 $\mathcal{Q}^{n}$ 的其他每个点至少被覆盖 $t$ 次。注意到取 $k = 0$ 且 $t=1$，我们恢复了 Alon 与 F"uredi 著名的覆盖结果（European Journal of Combinatorics, 1993）。利用上述超平面族，我们反驳了 Venkitesh 关于用超平面恰好覆盖超立方体 $\mathcal{Q}^{n}$ 的对称子集的猜想（The Electronic Journal of Combinatorics, 2022）。为证明上述结果，我们引入了超立方体子集的一种称为指标复杂度的新复杂度度量，相信其具有独立意义。我们还研究了一个受上述结果证明思想启发的限制和集问题的新有趣变体。