用仿射超平面覆盖布尔立方体的对称集
摘要
Alon 与 Füredi（European J. Combin., 1993）证明，任何覆盖布尔立方体 中除一点外所有点的超平面族必须至少包含 个超平面。我们得到该结果在特征零下的两个推广，分别针对布尔立方体对称集（在坐标置换下封闭的子集）的超平面覆盖，以及针对“严格单峰均匀”（SU）网格的“权值决定”集的“多项式覆盖”。作为解决问题的主工具，我们给出布尔立方体对称集的（有限次）Zariski（Z-）闭包的组合刻画——对称集的 Z-闭包是对称的。事实上，我们得到一个更一般关于 SU 网格权值决定集的刻画。然而在此一般性下，我们的刻画并非针对 Z-闭包——不同于布尔立方体情形，权值决定集的 Z-闭包未必是权值决定的。我们为权值决定集引入一个新的闭包算子——“（有限次）Z*-闭包”——定义为 Z-闭包中极大的权值决定集。（这在布尔立方体上对于对称集与 Z-闭包一致。）我们得到 SU 网格权值决定集的有限次 Z*-闭包的组合刻画。该刻画本身亦具独立意义。确实，作为进一步应用，我们（i）给出 Alon 等人（IEEE Trans. Inform. Theory, 1988）一个引理的另证，且（ii）刻画权值决定集的“证明次数”。在布尔立方体上，上述刻画亦可借 Bernasconi 与 Egidi（Inf. Comput., 1999）的结果导出。但我们的证明独立于该结果，适用于所有 SU 网格，且可视为更具组合性。
引用
@article{arxiv.2107.10385,
title = {Covering Symmetric Sets of the Boolean Cube by Affine Hyperplanes},
author = {S. Venkitesh},
journal= {arXiv preprint arXiv:2107.10385},
year = {2023}
}
备注
29 pages, 3 tables. A few minor typos have been fixed. The reviewer's comments incorporated in the published version have also been incorporated here. A couple of post-publication edits have been made. In particular, it is shown that Conjecture 6.4 is false, and the corresponding problem has been solved