一种可微代数复杂度度量：关于群结构的可证精确发现

从数据中发现离散代数规则是机器学习中的一个基本挑战。我们通过 Cayley 表完成问题来正式化化这个问题——这是经典矩阵完成的一个代数版本，其中关联度Violations的程度取代线性秩作为复杂度的内在度量。我们对 HyperCube（一种算子值张量分解）在完全观测目标表 $\delta$ 上的完整观测景观进行了严格分析，证明其全局下界 $H_{\inf}(\delta) := \inf_{\Theta \in F_\delta} H(\Theta)$ 隐式地定义了一个用于这种复杂度的精确可微度量。我们展示了 HyperCube 的本机目标函数 $H(\Theta)$ 分解为两个组成部分：几何对齐（共线性）和一个反向 $\ell_2$ �罚函数。我们确立了这些连续变分压力诱导出核心离散性质：共线性强制关联性（共线性—关联性等价），以及反向 $\ell_2$ �罚函数在共线流形中简化为精确的反向秩罚函数，推动参数趋向于完全秩单位化。因此，我们推导了一个绝对下界 $H(\Theta) \ge H_{\inf}(\delta) \ge 3 \, |\delta|$，其中 $|\delta|$ 为目标表大小。我们证明了该绝对底限当且仅当目标是同位于群时才会达到，并描述了全局最小化器作为底层群的正规表示（最多经单位规范化），从而解决了 Huh（2025）的中心开放猜想。本工作证明了某些离散代数结构可以由可微度量精确表征，从而实现无需组合搜索的梯度发现。所有理论结果均在 Lean 4 中机械验证，并通过小规模实验得到确认。