精确结构与 Hall 代数的退化

我们研究由不可分解对象同构类集合上的度函数所诱导的精确范畴的 Hall 代数退化。我们证明，精确范畴 $\mathcal{E}$ 的 Hall 代数 $\mathcal{H}(\mathcal{E})$ 的每一此类退化，都是同一加法范畴 $\mathcal{A}$ 上更小精确结构 $\mathcal{E}' < \mathcal{E}$ 的 Hall 代数。当 $\mathcal{E}$ 在 Enomoto 意义下可容许时，对任意满足适当有限性条件的 $\mathcal{E}' < \mathcal{E}$，我们证明 $\mathcal{H}(\mathcal{E}')$ 是 $\mathcal{H}(\mathcal{E})$ 的这种退化。在加法有限情形，所有此类度函数构成一个单纯锥，其面格反映了精确结构格的性质。对于 Dynkin 箭图表示范畴，我们恢复了相应量子群负部的退化，以及 Fourier、Reineke 与第一作者所研究的关联多面体结构。在此过程中，我们对 Enomoto 与 Br"ustle-Langford-Hassoun-Roy 关于加法范畴上精确结构分类的某些结果作了微小改进。我们证明，对每个幂等完备加法范畴 $\mathcal{A}$，存在一个阿贝尔范畴，其 Serre 子范畴格同构于 $\mathcal{A}$ 上精确结构的格。我们表明每个 Krull-Schmidt 范畴承认唯一极大可容许精确结构，且可容许精确结构的较小精确结构格是布尔的。