Hecke 自同态代数的正合范畴方法

设 $G$ 为有限李型群。在研究 $G$ 的跨特征标表示理论时，（特殊化）Hecke 代数 $H=\End_G(\ind_B^G1_B)$ 起到了重要作用。特别地，当 $G=GL_n(\mathbb F_q)$ 为有限一般线性群时，该方法引出了 Dipper-James 的 $q$-Schur 代数 $A$ 理论。这些代数可在 $\sZ:=\mathbb Z[t,t^{-1}]$ 上构造为比 $H$ 更大的、涉及抛物子群的自同态代数的 $q$-类比（其中 $q=t^2$）。代数 $A$ 在 $\sZ$ 上是拟遗传的。一个类似的代数，仍记为 $A$，在其他类型中总可构造。然而，这些代数迄今不如 $GL_n$ 情形有用，部分原因是它们一般不是拟遗传的。数年前，作者重述了 1998 年猜想，提出（对所有类型）存在一个具有分层导出模范畴的 $\sZ$-代数 $A^+$，其分层通过 Kazhdan-Lusztig 胞腔理论构造。代数 $A$ 可恢复为 $A=eA^+e$，其中 $e\in A^+$ 为幂等元。本专著的一个主要目标是完全证明该猜想。证明涉及若干使用正合范畴的新同调技术。紧随证明之后，我们展示 $A^+$ 在坏素数求逆后确变为拟遗传的。给出了该结果的一些初步应用——例如对分解矩阵——以及若干开放问题。