相对可逆性与有限弯秩张量范畴的完全双可逆性

固定一个在代数闭域上的有限对称张量范畴 $\mathcal{E}$。我们推导出一种 $\mathcal{E}$ 增强版的西姆伊祖（Shimizu）对有限弯秩张量范畴非退化性质的表征。为此，我们考虑与任何 $\mathcal{E}$ 增强的有限弯秩张量范畴 $\mathcal{A}$（满足一定温和技术假设）相关联的 Hopf 代数 $\mathbb{F}_{\mathcal{E}/\mathcal{A}}$。这是一种对 Lyubashenko 通用 Hopf 代数 $\mathbb{F}_{\mathcal{A}}$ 在 $\mathcal{A}$ 中的泛化。事实上，我们证明存在短正合序列 $\mathbb{F}_{\mathcal{E}}\rightarrow\mathbb{F}_{\mathcal{A}}\rightarrow\mathbb{F}_{\mathcal{E}/\mathcal{A}}$ 这些 Hopf 代数在 $\mathcal{A}$ 中存在，并且标准配对在 $\mathbb{F}_{\mathcal{A}}$ 上可诱导出 $\mathcal{E}/\mathcal{A}$ 上的配对 $\omega_{\mathcal{E}/\mathcal{A}}$。我们证明，当且仅当配对 $\omega_{\mathcal{E}/\mathcal{A}}$ 是非退化的，$\mathcal{A}$ 才是 $\mathcal{E}$ 非退化的，即其对称中心恰好为 $\mathcal{E}$。随后我们利用上述表征，证明 $\mathcal{E}$ 增强的有限弯秩张量范畴当且仅当其 $\mathcal{E}$ 非退化时，才在 $\mathcal{E}$ 增强预张量范畴的 Morita 4-范畴中是可逆的。作为应用，我们通过表明若有限弯秩张量范畴的对称中心是可分离的，则其在弯秩预张量范畴的 Morita 4-范畴中是全双可逆的，扩展了 Brochier-Jordan-Snyder 的完全双可逆性结果。