中心 Hopf 单子与弗里德曼可交换代数

设 $V$ 为一个弗里德曼张量范畴，$C$ 为一个配备有弗里德曼张量函子 $G:V\to Z(C)$ 的张量范畴。对于任意一个精确不可分解的 $C$-模范畴 $M$，我们显式构造由 $M$ 提供的作用函子 $\rho:Z^V(C)\to C^*_{M}$ 的右伴随。这里 $Z^V(C)$ 是 $G(V)$ 在中心范畴 $Z^V(C)$ 中的 M"uger 中心化子，亦称相对中心。该构造与 K. Shimizu 所呈现的构造平行，但使用相对 coend 来实现。这个伴随关系最终是单值 monad 化的，从而诱导出 Hopf 单子 $T_{V}: C\to C$，使得范畴间存在 monoidal 同构 $C_{T_{V}}\simeq Z^V(C)$。若 $\bar{\rho}: C^*_{ M}\to Z^V(C)$ 为 $\rho$ 的右伴随，则 $\bar{\rho}(Id_{M})$ 是在 [R. Laugwitz 和 C. Walton. Braided commutative algebras over quantized enveloping algebras, Transform. Groups 26(3) (2021), 957--993] 中构造的弗里德曼可交换代数。基于我们对这些代数的构造，结合 $\rho$ 的右伴随，我们提供了一种计算这些代数的方法，当 $C=Rep(H\# T)$ 为有限维 Hopf 代数 $H\# T$ 通过 bosonization 得到的有限维表示范畴，任选一个 $Rep(H\# T)$-模范畴 $M$。我们给出一个太夫特代数的情况下的显式例子。