幺半余积分及其在拟Hopf代数中的应用

对于有限张量范畴$\mathcal{C}$，我们考虑其上的中心幺半函子（central monad）的四种版本，$A_1, \dots, A_4$。其中两个是Hopf幺半函子，而当$\mathcal{C}$为枢轴（pivotal）时，其余两个也是。该情形下所有$A_i$作为Hopf幺半函子同构。我们定义$A_i$的幺半余积分（monadic cointegral）为一个$A_i$-模态射$\mathbf{1} \to A_i(D)$，其中$D$是$\mathcal{C}$的特异可逆对象。我们将幺半余积分与Shimizu（2019）引入的范畴余积分相联系，并在$\mathcal{C}$为辫子（braided）时，与Lyubashenko（1995）研究的$\mathcal{C}$中辫子Hopf代数$\mathcal{L} = \int^X X^\vee \otimes X$的积分相联系。我们的主要动机源于对有限维拟Hopf代数$H$的应用。对于有限维$H$-模范畴，我们将四种幺半余积分（其中两种要求$H$为枢轴）与拟Hopf代数的四种已有余积分概念相联系：Hausser与Nill（1994）的通常左/右余积分，以及枢轴情形下的所谓$\gamma$-对称化余积分，其中$\gamma$为$H$的模（modulus）。对于（未必半单的）模张量范畴$\mathcal{C}$，Lyubashenko给出了曲面映射类群在$\mathcal{C}$的某些Hom空间上的作用，特别是$SL(2,\mathbb{Z})$在$\mathcal{C}(\mathcal{L},\mathbf{1})$上的作用。在可分解带状（factorisable ribbon）拟Hopf代数的情形下，我们给出了利用幺半余积分的$S$与$T$作用的简单表达式。