拟 Hopf 代数上的双侧（双余侧）Hopf 模与 Doi-Hopf 模

设 $H$ 是域 $k$ 上的有限维拟 Hopf 代数，${\mathfrak A}$ 是 Hausser 与 Nill 意义下的右 $H$-余模代数。我们首先证明在 $k$-向量空间 ${\mathfrak A}\ot H^*$ 上可以定义一种代数结构，记为 ${\mathfrak A}\ovsm H^*$，位于左 $H$-模的幺半范畴中（即 ${\mathfrak A}\ovsm H^*$ 是一个 $H$-模代数）。然后我们将证明双侧 $({\mathfrak A}, H)$-双模范畴 $\hba$ 同构于 Hausser 与 Nill 所引入的相对 $({\mathfrak A}\ovsm H^*, H^*)$-Hopf 模范畴。在 ${\mathfrak A}=H$ 的特殊情形，我们将得到 Nill 所宣布的一个结果。我们还将引入 Doi-Hopf 模与双侧双余侧 Hopf 模的范畴，并证明在某些情形下它们同构于模范畴。