超可积系统任意维分类的代数几何基础

二维与三维的二阶超可积系统已基本分类。然而随着维数增加，现有方法所采用的非线性偏微分方程变得难以处理。本文提出一种针对分类问题的新代数几何方法——基于如下证明：不可约非退化二阶超可积系统的分类空间自然赋予拟射影簇结构并带有线性等距作用。在常曲率流形上，我们的方法导出一个单一、简单且显式的代数方程，该方程定义了分类满足所有相关可积性条件（在一般意义下）的超可积哈密顿量的簇。特别地，这包括迄今已知的所有非退化超可积系统，并表明我们的方法在任意维均可处理。我们的工作为基于分类空间几何推导任意维二阶超可积系统的完整分类奠定了基础，并对二次对称代数和特殊函数等相关结构具有诸多潜在应用。