嵌入增强立方多个超立方体的完美匹配互惠方法：关于哈密顿分解与容错哈密顿性的应用

本文聚焦于将超立方体嵌入一种重要的 Cayley 图类——增强立方 ($AQ_n$) 中的可嵌入性问题。$n$ 维增强立方 $AQ_n$ 通过为 $n$ 维超立方 $Q_n$ 增加额外边而构建，使得 $Q_n$ 成为 $AQ_n$ 的一个支配子图。Dong 和 Wang (2019) 首次提出确定 $Q_n$ -同构子图在 $AQ_n$ 中的个数的问题，至今仍未解。通过利用 $AQ_n$ 的 Cayley 属性，我们建立了一个下界。此外，我们发展了一种用于构造 $AQ_n$ 中具有最小公共边数的 $Q_n$ -同构子图对的方法。通过使用互惠完美匹配实现，这一方法也依赖于 $AQ_n$ 的 Cayley 属性。作为应用，我们证明当 $n\geq3$ 为奇数时，$AQ_n$ 存在 $n-1$ 条边不相交的哈密顿循环，当 $n$ 为偶数时存在 $n-2$ 条循环，从而确认了 Hung (2015) 对奇数情形的猜想。此外，我们证明当每个顶点至少有两条故障自由边时，$AQ_n$ 具有长度为 $4$ 到 $2^n$ 之间所有偶数的容错循环。该结果不仅为由 Hsieh 和 Cian (2010) 建立的容错哈密顿性提供了另一证明，还通过展示 $AQ_n$ 的容错双面包容性扩展了他们的工作。