增广立方体图的自同构群结构

增广立方体图 $AQ_n$ 是 $\mathbb{Z}_2^n$ 关于 $2n-1$ 个生成元集合 $\{e_1,e_2, \ldots,e_n, 00\ldots0011, 00\ldots0111, 11\ldots1111 \}$ 的 Cayley 图。已知对于所有 $n \ge 4$，图 $AQ_n$ 的自同构群的阶为 $2^{n+3}$。在本文中，我们得出了 $AQ_n$ 的自同构群结构为 $$\Aut(AQ_n) \cong \mathbb{Z}_2^n \rtimes D_8~~(n \ge 4),$$ 其中 $D_8$ 是阶为 8 的二面体群。证明了 Cayley 图 $AQ_3$ 是非正规的，而对于所有 $n \ge 4$，$AQ_n$ 是正规的。我们还分析了 $AQ_4$ 的团结构，并证明了 $AQ_4$ 的自同构群与 $AQ_3$ 的同构：$$\Aut(AQ_4) \cong \Aut(AQ_3) \cong (D_8 \times D_8) \rtimes C_2.$$ 此外，还确定了 $AQ_4$ 的所有非平凡块。