关于超立方体的两个结果

首先，我们考虑超立方体 $Q_n$ 中具有有界 VC 维的族。Frankl 提出了估计 VC 维为 $k$ 的极大族数量 $m(n,k)$ 的问题。Alon、Moran 和 Yehudayoff 证明了 $$n^{(1+o(1))\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}}\leq m(n,k)\leq n^{(1+o(1))\binom{n}{k}}.$$ 我们缩小了这一差距，证明了 $\log \left(m(n,k)\right)= {(1+o(1))\binom{n}{k}}\log n$，并说明由此可推论得到 $Q_n$ 两个相邻小层之间诱导匹配数量的对数的渐近紧界。接下来，我们考虑超立方体的完整性 $I(Q_n)$，定义为 $$I(Q_n) = \min\{ |S| +m(Q_n \setminus S) : S \subseteq V (Q_n) \},$$ 其中 $m(H)$ 表示 $H$ 的最大连通分量中的顶点数。Beineke、Goddard、Hamburger、Kleitman、Lipman 和 Pippert 证明了 $c\frac{2^n}{\sqrt{n}} \leq I(Q_n)\leq C\frac{2^n}{\sqrt{n}}\log n$，并怀疑其上界为正确值。我们证明真实值低于上界，即 $I(Q_n)\leq C \frac{2^n}{\sqrt{n}}\sqrt{\log n}$。