通过 KKL 定理改进 Erdős-Kleitman 猜想

1974 年，Erdős 和 Kleitman 提出猜想：若家族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 包含大小为 $s$ 的匹配且相对于该性质是极大的，则 $|\mathcal{F}|\ge \left(1-2^{-(s-1)}\right)\cdot 2^{n}.$ 多年来，最好的一般下界始终是平凡的 $2^{n-1}$。约十年前，Frankl 和 Tokushige 强调，获得形如 $\left(\frac{1}{2}+\varepsilon\right)\cdot 2^n$ 的下界（其中 $\varepsilon>0$）是一个具有挑战性的问题。2018 年，Bucić、Letzter、Sudakov 和 Tran 通过两种非常优雅且截然不同的方法展示了 $|\mathcal{F}|\ge \left(1-\frac{1}{s}\right)\cdot 2^n$。我们的主要结果表明 $$|\mathcal{F}|\ge \left( 1 - \frac{1}{s + (s-2)\frac{\log n}{2\sqrt{5}n}} \right)\cdot 2^n$$ 通过与 Kahn、Kalai 和 Linial 在布尔函数影响力问题上的核心结果建立联系。我们还可以独立地通过线性代数方法结合组合论技巧获得较弱的改进。