关于 Kleitman 一个结果的推广

Kleitman 的一个经典结果确定了在 $n\equiv 0,-1$ (mod $s$) 情形下，不包含 $s$ 个两两不相交的不同集合 $F_1,F_2,\dots,F_s$ 的集合族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 中集合的最大数量 $f(n,s)$。Katona 和 Nagy 确定了一个 $n$ 元集合的子集族的最大规模，该族不包含满足 $\bigcup_{i=1}^t A_i$ 与 $\bigcup_{i=1}^t B_i$ 不相交的 $A_1,A_2,\dots,A_t,B_1,B_2,\dots,B_t$。本文考虑在集合族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 中寻找最大数量 $vex(n,K_{s\times t})$ 的问题，该族不包含满足 $G_j=\bigcup_{i=1}^tF^j_i$ ($j=1,2,\dots,s$) 两两不相交的集合 $F^1_1,\dots,F^1_t,\dots,F^s_1,\dots,F^s_t$。我们确定了当 $n\equiv -1$ (mod $s$) 对所有 $t$，以及当 $n\equiv 0$ (mod $s$)、$t\ge 3$ 时 $2^n-vex(n,K_{s\times t})$ 的渐近行为，并证明在后一种情况下 $t=2$ 子情形的渐近行为与 $t=1$ 和 $t\ge 3$ 子情形均不同。