关于 $n\le 3s$ 情形下的 Erd\H{o}s-Kleitman 匹配问题的完整解

给定整数 $n\ge s\ge 2$，记 $e(n,s)$ 为包含不含 $s$ 个两两不相交成员的 $n$ 元素集合子集族的最大规模。该问题的研究可追溯至 1960 年代，Kleitman 确定了 $e(sm-1,s)$ 和 $e(sm,s)$ 对所有整数 $m,s\ge 1$ 的值。确定 $e(n,s)$ 的问题与其均匀情形密切相关，这是著名的 Erd\H{o}s 匹配猜想的主题。$e(n,s)$ 的问题一直备受挑战，尽管多年来取得了一些进展，但甚至连关于 $e(n,s)$ 一般值的猜想仍然缺失。在本文中，我们在 $n\le 3s$ 的情形下完全解决了该问题。在此范围内，$s$-匹配中集合的平均大小至多为 3，'缺失' 的 2- 和 3- 元素集合之间的微妙相互作用在这里发挥关键作用。四种极值族在该表征中出现。我们的结果为 $e(n,s)$ 在一般情况下的行为提供了启示。