关于 Frankl 与 Kupavskii 关于 Erd\H{o}s-Kleitman 匹配问题的猜想的一个解

对于整数 $n\ge s\ge2$，设 $e(n,s)$ 为族 $\mathcal F\subseteq2^{[n]}$ 中最大规模的成员数，其无 $s$ 个两两不相交的成员。确定 $e(n,s)$ 的研究与其均匀对应问题密切相关，即众所周知的 Erd\"o s 匹配猜想。Frankl 与 Kupavskii conjectured 关于 $e((m+1)s-\ell,s)$ 的精确公式，当 $1\le \ell\le \lceil s/2\rceil$。我们证明对于固定的 $m\ge3$ 且 sufficiently large 的 $s$，$e((m+1)s-\ell,s)$ 的极值族为 $P(m,s,\ell;L)\coloneqq\{A\subseteq [n]\colon |A|+|A\cap L|\ge m+1\}$，其中 $L$ 满足 $|L|=\ell-1$，当 $1\le \ell\le (\frac{m+1}{2m+1}-o(1))s$。特别是，这确认了 Frankl--Kupavskii 猜想对于每个固定 $m\ge3$ 和所有 sufficiently large 的 $s$。对于 $m=3$，我们确定了 $P(3,s,\ell;L)$ 为极值族的整个 $\ell$ 范围，推广了 Kupavskii 和 Sokolov 的定理。